Teoremas generales de la Dinámica de la partícula y del cuerpo rígido.
La partícula, o punto
material, es la idealización más simple de la mecánica, definiéndose como un
punto dotado de masa. Por lo general se puede emplear este modelo cuando las
dimensiones de un cuerpo sean lo suficientemente pequeñas como para suponer
toda su masa concentrada en un punto. Sin embargo, el criterio del tamaño
pequeño no es siempre suficiente para establecer la validez de esta
idealización. El modelo del punto material puede ser inadecuado en algunas situaciones,
aunque las dimensiones del cuerpo sean pequeñas. Para ilustrar esta afirmación,
supongamos como ejemplo la caída de una bolita pequeña por un plano inclinado
bajo dos hipótesis distintas:
2) Deslizando. —
En esta hipótesis sólo hay energía cinética de traslación:
Cantidad de movimiento
El principio de la
cantidad de movimiento se deduce como consecuencia directa de la segunda ley de
Newton:
F = d/dt (mv) = p˙.
En el caso usual de que la
masa de la partícula no varíe , se obtiene la expresión clásica de la ley
fundamental de la dinámica
Fuerza = masa × aceleración: F = ma = mr¨.
Conviene recordar que, en esta expresión, F representa la resultante de todas las fuerzas aplicadas sobre la partícula. Se deben incluir, mediante suma vectorial, tanto las fuerzas activas como las reacciones de apoyo o reacciones del medio.
Cuando la fuerza total se anula, se
obtiene el correspondiente teorema de conservación:
si F = 0, p = cte.
Por lo tanto, el movimiento de una partícula aislada es tal que se conserva su
cantidad de movimiento; es decir, su velocidad se mantiene constante,
describiendo un movimiento rectilíneo uniforme
Sea una partícula m,
dotada de una velocidad v y situada en un punto P. El momento cinético3 respecto
a un punto fijo O, HO 4, se define como el momento de la cantidad de movimiento
respecto a dicho punto. Tomando O como origen del sistema de referencia
(inercial) Oxyz,
TEOREMAS GENERALES DEL CUERPO RÍGIDO.
Sólido rígido: Es un caso
especial de un sistema de muchas partículas, y considera que la distancia entre
las partículas de estos cuerpos permanece constante (R = constante), o sea son
absolutamente indeformables. Planteemos el movimiento general de un sólido
rígido respecto a un observador inercial O, (ver figura).
La posición rP de un punto P del sólido puede
ponerse en función del centro de masas del sólido C como:
rP = rC + R
donde rC es el vector de
posición del centro de masas del sólido y R el vector que va del centro de
masas al punto P. R es un vector cuyo módulo es constante.
Un sólido rígido se caracteriza por ser
indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas,
aunque se apliquen fuerzas al mismo. Si se deriva respecto del tiempo se
obtiene:
vp vc x R r r r r = +ω
El primer término es la
velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero
es la velocidad del punto P respecto del centro de masas. Como el vector R r
tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una
rotación con velocidad angular ω r alrededor de un eje instantáneo que pase por
C, tal como se ve en la figura de la derecha.
Por tanto, el movimiento
de un punto P del sólido se puede considerar como la suma de un movimiento de
traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo
que pasa por el centro de masas.
Los cuerpos rígidos tienen
como movimiento general una composición de un movimiento de traslación más otro
de rotación. Siempre es posible encontrar un sistema de referencia en traslación,
pero no rotante respecto del cual el movimiento del cuerpo parezca solo de
rotación. 3 Para un cuerpo rígido, si se conoce dónde está en un momento
determinado una partícula y el ángulo θ de rotación del cuerpo respecto a la
posición original, conocemos el resto de las posiciones de los puntos.
El movimiento general de
un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de
masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro
de masas.
• En el movimiento de
traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La
velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de
masas.
• En el movimiento de
rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de
un punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe,
y su dirección es tangente a dicha circunferencia
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